摘要：词为nerd）看的，不是一般观众都能理解到的。在发售的DVD解说词中大卫·X·科恩指出了这点，而且他有时会称自己是“最骨灰书呆的笑话”。这些玩笑包括数学领域的笑话——例如勒夫数电影院。（恶搞艾礼富数无穷有理数集合。，译者注：1. aleph是希伯来的第一个字母，也是最神圣的字母，相传人们不太敢多念。...词为nerd）看的，不是一般观众都能理解到的。在发售的DVD解说词中大卫·X·科恩指出了这点，而且他有时会称自己是“最骨灰书呆的笑话”。这些玩笑包括数学领域的笑话——例如勒夫数电影院。（恶搞艾礼富数无穷有理数集合。，译者注：1. aleph是希伯来的第一个字母，也是最神圣的字母，相传人们不太敢多念。
405/50+2/3i)) x ===> 509/60+1/3i ;; 检查精确性 (exact? x) ===> #t 在既不支持精确有理数也不支持复数却接受有理数表示法的实数的实现中相同算术的例子： ;; 四个有理实数的总和 (define xr (+ 1/3 1/4 -1/5 405/50))。
4 0 5 / 5 0 + 2 / 3 i ) ) x = = = > 5 0 9 / 6 0 + 1 / 3 i ; ; jian zha jing que xing ( e x a c t ? x ) = = = > # t zai ji bu zhi chi jing que you li shu ye bu zhi chi fu shu que jie shou you li shu biao shi fa de shi shu de shi xian zhong xiang tong suan shu de li zi ： ; ; si ge you li shi shu de zong he ( d e f i n e x r ( + 1 / 3 1 / 4 - 1 / 5 4 0 5 / 5 0 ) ) 。
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逼近理论（Approximation theory）是数学中的一个分支，是一种量化的泛函分析。丟番图逼近是用有理数来逼近实数。当一个数的真正数值未知或难以获得时，就可以用近似（即逼近）的方式处理。有时存在一些已知的近似值可以表示其真正数值，而又不会有太大的误差，例如圆周率π常近似为3。
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{Q} (\omega ^{2}\theta )} 。这些中间域都是有理数域的三次扩域，与对应子群在G中的指数相等。由于这三个二元子群都不是G的正规子群，所以相应的，这些中间域也不是有理数域的正规扩张。事实上，它们各自是在有理数域中添加多项式P的一个根得到的扩域，但另外两个根都不在其中。:52-53。
为"法官判断案件的正確性"，其值可以是0至1的有理数 α ∈ {0..1} = "Correctness of Judgment", where → < 0.5 代表判断不正確 → > 0.5 代表判断正確 → = 1 代表判断完全正確 → = 0 代表判断完全错误 假设 β¹ 为"法官的安全性"，其值可以是0至1的有理数 β¹ ∈。
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p {\displaystyle p} 进数（英语：p-adic number），是数论中的概念，也称作局部数域，是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 到实数域 R {\displaystyle \mathbb {R}。
环的外部边界与强力3:2罗伦兹共振（Lorentz Resonance，罗伦兹共振是一个粒子轨道运动与行星磁圈转动之间，当她们的轨道周期比例是一个有理数时产生的共振）的位置重叠。当波印廷-罗伯森效应（Poynting-Robertson effect）把粒子缓慢拉往木星，她们的轨道倾角在经过时会受。
是负数。 使用对数和有理数指数都不能将 a k {\displaystyle a^{k}} （其中 a {\displaystyle a} 是负实数， k {\displaystyle k} 实数）定义成实数。在一些特殊情况下，给出一个定义是可行的：负指数的整数指数幂是实数，有理数指数幂对于 a m。
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k>n} 的项为零，此无穷级数变成有限项的和，还原为二项式公式，但对於 α {\displaystyle \alpha } 的其他值，包括负数和有理数，此级数为无穷级数。 帕斯卡法则是一重要的递归等式： 此式可以用於数学归纳法，以証明 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom。
。域是抽象代数中的概念，是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发，很容易得到任何有理数长度的线段，所以直线OA（也就是实数轴）上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点。如果平面上还有另一个尺规可作点（对应复数z），那么也能做出任意pz+q的点，甚至于任何形如： P 1 ( z ) P 2 ( z ) {\displaystyle。
考虑一个平面。一个点是原点0。另一个点是单位1。 两个点A和B的和是点X = A + B使得顶点0, A, B的三角形和顶点X, B, A的三角形是全等的。 两个点A和B的积是点X = AB使得顶点0, 1, A的三角形和顶点0, B, X的三角形是相似的。 点A的共轭复数是点X = A*使得顶点0。
想，孪生质数猜想等。即，很多问题虽然形式上十分初等，事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。数论除了研究整数及质数外，也研究一些由整数衍生的数（如有理数）或是一些广义的整数（如代数整数）。 整数可以是方程式的解（丟番图方程）。有些解。
{\displaystyle b^{k}} 和 b − k {\displaystyle b^{-k}} 是相应数字的 比重。 注意有一个数有一个终止或者循环当且仅当它是有理数；这不依赖于基数的选择。在一个进制中终止的数可以在另外一个有循环小数（thus 0.310 = 0.0100110011001..。
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伽罗瓦域的大小和能力也已经提出了，但被密码专家认为有一点问题。 给定一条椭圆曲线E以及一个域 G F ( q ) {\displaystyle GF(q)} ，考虑具有 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 形式有理数点 E ( q ) {\displaystyle E(q)}。
为了证明加法的常见性质，首先必须给出加法的准确定义。加法首先在自然数范围内定义。在集合论中，加法接着被拓展到逐渐广阔的集合上：整数，有理数，实数。。（在数学教育中，正分数的加法通常在负数之前教授；这也是历史发展的路线。） 目前有两种流行的方法用于定义两个自然数 a 和 b 的和。如果自然数被定义为有限集合的元素个数，那么。
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点：非线性、分布式、并行化，局部性计算以及适应性。从历史的角度讲，神经网络模型的应用标志着二十世纪八十年代后期从高度符号化的人工智能（以用条件规则表达知识的专家系统为代表）向低符号化的机器学习（以用动力系统的参数表达知识为代表）的转变。。
当情况去到如整数集或有理数集等无穷集的情况时，事件就变得复杂得多。当考虑所有有理数的集合时，有些初学者可能会直觉地认为有理数理所当然地多於整数，而有理数又显然少於实数，因此把连续统假设证否。但透过简单集合论的方法，我们能证明有理数集能与整数集形成一双射，因此有理集跟整数集有。
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一理论包括了如费马最后定理等著名的结果。数论还包括两个被广为探討的未解问题：孪生质数猜想及哥德巴赫猜想。 当数系更进一步发展时，整数被视为有理数的子集，而有理数则包含於实数中，连续的量即是以实数来表示的。实数则可以被进一步广义化成复数。数的进一步广义化可以持续至包含四元数及八元数。从自然数亦可以推。
古希腊毕达哥拉斯学派发现的无理数；例如，单位正方形的对角线的长度，即 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 。 有理数的基数等于整数的基数。 某些代数数域的整数环无唯一分解，例如域 Q ( − 5 ) {\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt。
依赖於抽象群论方式和从计算群论中特別是实现于有限群上的时候所得到的算法知识的结合。群论的应用不限於数学；科学如物理、化学和计算机科学都受益於这个概念。 很多数系统，比如整数和有理数享有自然给予的群结构。在某些情况下比如对于有理数，加法和乘法运算二者都引发群结构。这种系统是叫做环和域的更一般的代数结构的前身。。
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