摘要：p {\displaystyle p} 进数（英语：p-adic number），是数论中的概念，也称作局部数域，是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 到实数域 R {\displaystyle \mathbb {R}。...p {\displaystyle p} 进数（英语：p-adic number），是数论中的概念，也称作局部数域，是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 到实数域 R {\displaystyle \mathbb {R}。
\subseteq \mathbb {C} } 。域是抽象代数中的概念，是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发，很容易得到任何有理数长度的线段，所以直线OA（也就是实数轴）上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点。如果平面上还有另一个尺规可作点（对应复数z），那么也能做出任意pz+q的点，甚至于任何形如： P。
\ s u b s e t e q \ m a t h b b { C } } 。 yu shi chou xiang dai shu zhong de gai nian ， shi neng gou jin xing “ jia jian cheng chu ” yun suan de ji he 。 cong dan wei chang du chu fa ， hen rong yi de dao ren he you li shu chang du de xian duan ， suo yi zhi xian O A （ ye jiu shi shi shu zhou ） shang suo you de you li shu zuo biao de dian dou shi chi gui ke zuo dian 。 ru guo ping mian shang hai you ling yi ge chi gui ke zuo dian （ dui ying fu shu z ） ， na me ye neng zuo chu ren yi p z + q de dian ， shen zhi yu ren he xing ru ： P 。
是负数。 使用对数和有理数指数都不能将 a k {\displaystyle a^{k}} （其中 a {\displaystyle a} 是负实数， k {\displaystyle k} 实数）定义成实数。在一些特殊情况下，给出一个定义是可行的：负指数的整数指数幂是实数，有理数指数幂对于 a m。
complex）是否表现同胚空间的问题。在1970年，尤里·马季亚谢维奇对希尔伯特第十问题给出了否定答案，它提问是否有有效的过程来判定有有限多个有理数上的变量的丟番图方程是否有在有理数上的解。这个否定解答是对Martin Davis、Hilary Putnam和Julia Robinson在1961年给出的部分解答的巩固。。
(#｀′)凸
假设小明和小华玩一个游戏，让小华隨意说一个0到1之间的实数。小明爲了研究概率，选择了所有[0,1]的子集作为概率集合。他將所有的0到1之间的有理数取出来。由於0到1之间的有理数是可数集合，所以可以做標号： q 1 , q 2 , ⋯ {\displaystyle q_{1},q_{2},\cdots } 。对於每一个0到1之间的实数。
为了证明加法的常见性质，首先必须给出加法的准确定义。加法首先在自然数范围内定义。在集合论中，加法接着被拓展到逐渐广阔的集合上：整数，有理数，实数。。（在数学教育中，正分数的加法通常在负数之前教授；这也是历史发展的路线。） 目前有两种流行的方法用于定义两个自然数 a 和 b 的和。如果自然数被定义为有限集合的元素个数，那么。
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有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的有限扩张形成的扩域。任何代数数域都可以视作 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上的有限维向量空间。 对代数数域的研究，或者更一般地说，对有理数域的代数扩张的研究，是代数数论的中心主题。。
古希腊毕达哥拉斯学派发现的无理数；例如，单位正方形的对角线的长度，即 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 。 有理数的基数等于整数的基数。 某些代数数域的整数环无唯一分解，例如域 Q ( − 5 ) {\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt。
{x^{2}}{3-{\dfrac {x^{2}}{5-{\dfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}} 随后朗伯证明了如果x为非零有理数则该结果必为无理数。由于tan(π/4)=1，因此有π/4为无理数，即π为无理数。 考虑如下积分： I n ( x ) = ∫ − 1 1 ( 1。
为"法官判断案件的正確性"，其值可以是0至1的有理数 α ∈ {0..1} = "Correctness of Judgment", where → < 0.5 代表判断不正確 → > 0.5 代表判断正確 → = 1 代表判断完全正確 → = 0 代表判断完全错误 假设 β¹ 为"法官的安全性"，其值可以是0至1的有理数 β¹ ∈。
。常用的运算有加法、减法、乘法、除法，有时候，更复杂的运算如平方和平方根，也包括在算术运算的范畴内。算术运算要按照特定规则来进行。 自然数、整数、有理数（以分数的形式）和实数（以十进制指数的形式）的运算主要是在小学和中学的时候学习。用百分比形式进行运算也主要是在这个时候学习。然而，在成人中，很多人。
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当情况去到如整数集或有理数集等无穷集的情况时，事件就变得复杂得多。当考虑所有有理数的集合时，有些初学者可能会直觉地认为有理数理所当然地多於整数，而有理数又显然少於实数，因此把连续统假设证否。但透过简单集合论的方法，我们能证明有理数集能与整数集形成一双射，因此有理集跟整数集有。
依赖於抽象群论方式和从计算群论中特別是实现于有限群上的时候所得到的算法知识的结合。群论的应用不限於数学；科学如物理、化学和计算机科学都受益於这个概念。 很多数系统，比如整数和有理数享有自然给予的群结构。在某些情况下比如对于有理数，加法和乘法运算二者都引发群结构。这种系统是叫做环和域的更一般的代数结构的前身。。
{R} \backslash \mathbb {Q} \\\end{cases}}} 其中Q表示有理数。这个函数既没有上界也没有下界，所以上确界和下确界分别是∞和−∞。但是，从勒贝格测度的角度来看，有理数集合的测度为零；因此，真正有关的是在这个集合的补集发生的事情，其中函数由arctan。
{\displaystyle {\text{AC}}_{\omega }} 对于开发数学分析特别有用，这里的很多结果依赖于实数的可数集合有选择函数（考虑为有理数的柯西序列的集合）。 AC ω {\displaystyle {\text{AC}}_{\omega }}。
{\displaystyle \left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)} 。 非零有理数会形成一个於乘法下的群。在此，其单位元为 1 {\displaystyle 1} ，当对於任一有理数 a {\displaystyle a} ， 1 × a = a × 1 = a {\displaystyle。
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一理论包括了如费马最后定理等著名的结果。数论还包括两个被广为探討的未解问题：孪生质数猜想及哥德巴赫猜想。 当数系更进一步发展时，整数被视为有理数的子集，而有理数则包含於实数中，连续的量即是以实数来表示的。实数则可以被进一步广义化成复数。数的进一步广义化可以持续至包含四元数及八元数。从自然数亦可以推。
经济学奖得主坎托罗维奇都是他的学生。此外，他还是苏联第一届数学奥林匹克的发起人、20世纪30年代苏联中学数学教学大纲的制定者。 绪论 实数 §1 有理数域 §2 无理数的导入．实数域的序 §3 实数的算术运算 §4 实数的其他性质及应用 第一章 极限论 §1 整序变量及其极限 §2 极限的定理．若干容易求得的极限。
想，孪生质数猜想等。即，很多问题虽然形式上十分初等，事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。数论除了研究整数及质数外，也研究一些由整数衍生的数（如有理数）或是一些广义的整数（如代数整数）。 整数可以是方程式的解（丟番图方程）。有些解。
{Q} (\omega ^{2}\theta )} 。这些中间域都是有理数域的三次扩域，与对应子群在G中的指数相等。由于这三个二元子群都不是G的正规子群，所以相应的，这些中间域也不是有理数域的正规扩张。事实上，它们各自是在有理数域中添加多项式P的一个根得到的扩域，但另外两个根都不在其中。:52-53。
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