摘要：乘法」）、並且符合特定运算规则的集合。它抽象化了诸如整数、有理数、实数、复数、多项式、矩阵、函数、算子等等的代数结构。它是环论的主要研究对象，並且是构成各种抽象代数理论的重要基本概念。 环的具体定义並没有完全统一。不同研究方向的学者对於环是否要有乘法单位元有不同见解，在部份情况下甚至不要求乘法。...乘法」）、並且符合特定运算规则的集合。它抽象化了诸如整数、有理数、实数、复数、多项式、矩阵、函数、算子等等的代数结构。它是环论的主要研究对象，並且是构成各种抽象代数理论的重要基本概念。 环的具体定义並没有完全统一。不同研究方向的学者对於环是否要有乘法单位元有不同见解，在部份情况下甚至不要求乘法。
假设R 是环(ring)且1R ∈ R，1R 是其乘法运算的单位元素，则左R-模包括一个交换群(M, +)，以及一个映射(或运算)⋅ : R × M → M (叫做纯量乘法或数积，通常把此运算的值 (r,x) 记作 rx 或是 r ⋅ x，r ∈ R 且 x ∈。
jia she R shi huan ( r i n g ) qie 1 R ∈ R ， 1 R shi qi cheng fa yun suan de dan wei yuan su ， ze zuo R - mo bao kuo yi ge jiao huan qun ( M , + ) ， yi ji yi ge ying she ( huo yun suan ) ⋅ : R × M → M ( jiao zuo chun liang cheng fa huo shu ji ， tong chang ba ci yun suan de zhi ( r , x ) ji zuo r x huo shi r ⋅ x ， r ∈ R qie x ∈ 。
在同余理论中，模 n 的互质同余类组成一个乘法群，称为整数模 n 乘法群，也称为模 n 既约剩余类。在环理论中，一个抽象代数的分支，也称这个群为整数模 n 的环的单位群（单位是指乘法可逆元）。 这个群是数论的基石，在密码学、整数分解和素性测试均有运用。例如，关于这个群的阶（即群的“大小”），我们可以确定如果。
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\sqrt[{3}]{aaaaa}}={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}} 若已可以简化根式表示式，则加法和减法就只是群的“同类项”问题。 例如 a 5 3 + a 8 3 {\displaystyle。
加法（addition，通常用加号“+”表示）是基本的算术运算之一，与减法、乘法、除法合称「四则运算」。两个自然数相加是将他们组合起来的总量。例如，在右图中，三个苹果和两个苹果被组合在一起，共有五个苹果，用数学表达式表示成 3 + 2 = 5 {\displaystyle 3+2=5} ，即“3加2等於5”。。
无理方程是指出现了关于未知数的无理表达式的方程。李冶处理过根式，但并未解过无理方程。朱世杰著作中的无理方程是中国算学史上的首创。朱世杰的处理方法是将无理式设为辅助未知数，通过变量代换将无理方程转化为有理方程来解决。这种方法只能针对只有一个无理式的无理方程，当出现形如 A + B = C {\displaystyle。
乘法群。特別是实数集是在加法下的阿贝尔群，非零实数集在乘法下是阿贝尔群。 所有阿贝尔群的子群都是正规子群，所以每个子群都引发商群。阿贝尔群的子群、商群和直和也是阿贝尔群。 矩阵即使是可逆矩阵，一般不形成在乘法下的阿贝尔群，因为矩阵乘法一般是不可交换的。但是某些矩阵的群是在矩阵乘法下的阿贝尔群。
质（特別是它们的可解性）给出了那些多项式的所有解都可用根式表达的判定標准，就是说这些解可以类似上面公式那样只使用加法、乘法和方根来表达。 这个问题可以使用域论来处理：考虑一个多项式的分裂域就把问题转移到了域论的领域中了。现代伽罗瓦理论把上述类型的伽罗瓦群推广到了域扩张，并通过伽罗瓦理论基本定理建立。
1 {\displaystyle z^{N}-1} 分解成cyclotomic多项式，而这些多项式的系数通常为1，0，-1。这样只需要很少的乘法量（如果有需要的话），所以winograd是可以得到最少乘法量的快速傅立叶演算法，对于较小的数字，可以找出有效率的算方式。更精确地说，winograd演算法让DFT可以用。
在抽象代数中，体（德语：Körper，英语：Field）是一种具有加法跟乘法的集合（代数结构），且其加法跟乘法运算就如同普通的有理数还有实数。事实上，体正是数域以及四则运算的推广，所以被广泛运用在代数、数论等数学领域中。 体是环的一种。但区別在於域要求它的非零元素可以做除法，且体的乘法有交换律。。
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n\,} 次本原单位根数目为欧拉函数 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 。 全体i次单位根对普通乘法作成群，即i次单位根群。所有全体i次单位根群在普通乘法下也可作成群，且这是一个无限交换群，这个无限交换群里的每个元素的阶都有限。 一次单位根有一个: 1 {\displaystyle。
式、关係、方程理论、代数结构等等都是代数学的研究对象。 初等代数一般在中学时讲授，介绍代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解变数的概念和如何建立多项式並找出它们的根。 代数的研究对象不仅是数字，还有各种抽象化的结构。例如整数集作为一个带有加法、乘法。
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−v就满足v + w = 0。 标量乘法对向量加法满足分配律：a(v + w) = a v + a w. 向量乘法对标量加法满足分配律：(a + b)v = a v + b v. 标量乘法与标量的域乘法相容：a(bv) =(ab)v。 标量乘法有单位元：ℝ中的乘法单位元，也就是实数“1”满足：对任意实数v，1v。
但在其它语言（如英文）中，有可能乘数是放在前的，写作 n × a {\displaystyle n\times a} ，唸作「n times a」。 乘法可以用几种方法表示。以下的式子表示“五乘以二”： 5 × 2 {\displaystyle 5\times 2} 5 ⋅ 2 {\displaystyle 5\cdot。
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乘法算法是计算两个数值相乘乘积的算法。为了提高运算效率，不同大小的数字适用不同的乘法算法。自十进制数字系统诞生以来，就已开始发展乘法算法。 网格法（英语：Grid method multiplication） （或盒式法）是一种用于给小学生进行乘法计算启蒙的简单乘法。
}，其运算为加法"+"，那么以下为其运算表： 这运算是对合的：∀ x ∈ V , x + x = 0。 克莱因四元群可扩展为有限域，称为克莱因域，加入乘法为第二个运算，以0为零元，e为单位元。乘法与加法符合分配律。乘法表为： 克莱因四元群是下图的图自同构群。 ∘ − ∘ ∘ ∘ {\displaystyle {\begin{matrix}\circ。
颂哈吉-施特拉森演算法是1971年至2007年之间，渐近最快的乘法演算法，2007年时有一个新的乘法演算法Fürer演算法（英语：Fürer's algorithm），其渐近复杂度较低，不过Fürer演算法只有在大到天文数字的程度时，其速度才会比颂哈吉-施特拉森演算法快，实务上不会使用Fürer演算法（参考银河式算法）。。
看头乘法，被乘数、乘数放置盘面上。 看头乘法，又称见乘法，乘法速算法。 破头乘法，被乘数、乘数不放置盘面上。 破头乘法，又称头乘法 破头乘法別法，又称新头乘法，或称隔位乘法。 此外，另有一种技巧 凑倍乘法，古称金蝉脱殻，又称迭皮乘、加减乘法、变积乘法、倍数乘法、加乘法。可將乘法转为加减算，从而不需要九九乘法。 其基本想法为：「因为將每个乘数分解成多个一位数，最多只有。
乘法本质上是一组相同数字的重复累加或总和。乘法运算可得出乘数与被乘数（有时被通称为因数）的乘积。 乘法运算（由于其本质是重复累加）具有交换性和结合性；进而，它对加法和减法运算具有分配性。乘法单位元为1，即，用1乘以任意数的结果仍为该数。并且，任意数字的乘法。
无限不循环小数：如圆周率π、自然对数的底数e等。 2.根式中开方开不尽的数：如2的平方根、5的立方根、7的四次方根等。 【注】 两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）仍是有理数。 两个无理数的和、差、积、商可以是有理数，也可以是无理数。 * # （1）无理数的和、差、积、商为有理数：如e+(1-e)、e-e、“根号2”的平方、e/e等。。
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